हरात्मक श्रेणी

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यदि y और z के बीच हरात्मक माध्य x है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है ?

"हरात्मक श्रेणी" का अंग्रेजी में अनुवाद

harmonic progression

progression formed by taking the reciprocals of an arithmetic progression

harmonic series

अल्गोरिदम से बनाए हुए अनुवाद दिखाएँ

यह सिद्ध करना सम्भव है कि हरात्मक श्रेणी के संकलन को इसकी तुलनात्मक श्रेणी के अनन्त समाकल से तुलना करने पर अपसारी प्राप्त होती है।

It is possible to prove that the harmonic series diverges by comparing its sum with an improper integral.

a और b का गुणोत्तर माध्य a व b के गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होता है समान्तर माध्य हरात्मक माध्य द्विघाती माध्य या 'वर्ग-माध्य-मूल' (RMS) गुणोत्तर श्रेणी Calculation of the हरात्मक श्रेणी हरात्मक श्रेणी geometric mean of two numbers in comparison to हरात्मक श्रेणी the arithmetic solution Arithmetic and geometric means When to use the geometric mean Practical solutions for calculating geometric mean with different kinds of data Geometric Mean on MathWorld Geometric Meaning of the Geometric Mean Geometric Mean Calculator for larger data sets

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हरात्मक श्रेणी का अंग्रेजी मतलब

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"हरात्मक श्रेणी" के बारे में

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श्रेढियों के प्रकार (Types of Progressions)

गणित में आपको तीन तरह की श्रेढियों का सामना करना पड़ेगा। ये हैं:

समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression, AP)
गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression, GP)
हरात्मक श्रेणी (Harmonic Progression, HP)

आइए उनका अधिक विस्तार से अध्ययन करें।

समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression) क्या होती है?

समान्तर श्रेढ़ी संख्याओं का एक क्रम है, जिसमें किन्हीं दो आसन्न पदों के बीच समान अंतर होता है।

मान लीजिए किसी समांतर श्रेणी का पहला पद 'a' है, और सार्व अंतर 'd' है। अतः, समांतर श्रेणी होगी:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, .

दूसरे शब्दों में, किसी समान्तर श्रेणी में प्रत्येक क्रमागत पद, अपने पिछले पद और एक निश्चित संख्या का योग होता है (जिसे सार्व अंतर, common difference कहते हैं)।

उदाहरण के हरात्मक श्रेणी लिए, निम्नलिखित एक समान्तर श्रेढ़ी है जिसका पहला पद 2 है, और सार्व अंतर 3 है।
2, 5, 8, 11, 14, 17 .

समान्तर श्रेढ़ी का पहला पद और सार्व अंतर, धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकते हैं।

समान्तर श्रेढ़ी सूत्र (Arithmetic Progression Formulae)

सार्व अंतर (Common difference)

यदि हमारे पास यह समान्तर श्रेढ़ी है: \(a_1, a_2, a_3, . a_, हरात्मक श्रेणी a_n\)

गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) क्या होती है?

गुणोत्तर श्रेढ़ी संख्याओं का एक क्रम है, जिसमें किन्हीं दो आसन्न पदों के बीच समान अनुपात होता है।

मान लीजिए किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 'a' है, और उभयनिष्ठ अनुपात 'r' है। तो, गुणोत्तर श्रेढ़ी होगी:

दूसरे शब्दों में, किसी गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक क्रमिक पद, अपने पिछले पद और एक निश्चित संख्या का गुणन होता हरात्मक श्रेणी है (जिसे सामान्य अनुपात, common ratio कहा जाता है)।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक गुणोत्तर श्रेणी दी गयी है, जिसका पहला पद 2 है, और सामान्य अनुपात 3 है।
2, 6, 18, 54, 162, .

गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद और सामान्य अनुपात, धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।