Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài viết hướng dẫn phương pháp xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu nón – trụ – cầu đăng tải trên roketbola.site.

Bạn đang xem: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Phương pháp: Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:+ Xác định trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ($d$ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).+ Xác định mặt phẳng trung trực $left( P ight)$ của một cạnh bên (hoặc trục $Delta $ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).+ Giao điểm $I$ của $left( P ight)$ và $d$ (hoặc của $Delta $ và $d$) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.+ Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là độ dài đoạn thẳng nối tâm $I$ với một đỉnh của hình chóp.

Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

Ta xét một số dạng hình chóp thường gặp và cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.Dạng 1. Hình chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng $AB$ dưới một góc vuông.Phương pháp:+ Tâm: Trung điểm của đoạn thẳng $AB$.+ Bán kính: $R=fracAB2$.

Ví dụ:• Hình chóp $S.ABC$ có đường cao $SA$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B.$

*

Ta có $widehat SAC = widehat SBC = 90^o$, suy ra $A,B$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông. Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có:+ Tâm $I$ là trung điểm của $SC.$+ Bán kính: $R = fracSC2.$

• Hình chóp $S.ABCD$ có đường cao $SA$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật.

*

Ta có $widehat SAC = widehat SBC = widehat SDC = 90^o$, suy ra $A,B,D$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông. Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ có:+ Tâm $I$ là trung điểm của $SC.$+ Bán kính: $R = fracSC2.$

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABC ight)$ và $SC=2a$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

*

Ta có: $left{ eginarraylBC ot AB\BC ot SA left( SA ot left( ABC ight) ight)endarray ight.$ $ Rightarrow BC ot left( SAB ight)$ $ Rightarrow BC ot SB.$$SA ot left( ABC ight)$ $ Rightarrow SA ot AC.$Suy ra: Hai điểm $A$, $B$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông.Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là: $R = fracSC2 = a.$

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$là hình vuông tại, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABCD ight)$ và $SC=2a$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.

*

Ta có: $left{ eginarraylBC ot AB\BC ot SAendarray ight.$ $ Rightarrow BC ot left( SAB ight)$ $ Rightarrow BC ot SB.$Chứng minh tương tự ta được: $CD ot SD.$$SA ot left( ABCD ight)$ $ Rightarrow SA ot AC.$Suy ra: Ba điểm $A$, $B$, $D$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông.Vậy bán kính mặt cầu là $R=fracSC2=a.$

Dạng 2. Hình chóp đều.Phương pháp:• Hình chóp tam giác đều $S.ABC$:

*

• Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$:

*

Gọi $O$ là tâm của đáy $Rightarrow SO$ là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.Trong mặt phẳng xác định bởi $SO$ và một cạnh bên, chẳng hạn như $ extmpleft( SAO ight)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh $SA$ và cắt $SO$ tại $I$ $Rightarrow I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Ta có: $Delta SNI ∼ Delta SOA$ $ Rightarrow fracSNSO = fracSISA$, suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: $R = IS = fracSN.SASO = fracSA^22SO.$

Ví dụ 3: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều $S.ABC$, biết các cạnh đáy có độ dài bằng $a$, cạnh bên $SA=asqrt3$.

*

Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$, ta có $SOot left( ABC ight)$ nên $SO$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $N$ là trung điểm của $SA$, trong $mpleft( SAO ight)$ kẻ trung trực của $SA$ cắt $SO$ tại $I$ thì $IS$ = $IA$ = $IB$ = $IC$ nên $I$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$. Bán kính mặt cầu là $R=SI$.Vì hai tam giác $SNI$ và $SOA$ đồng dạng nên ta có $fracSNSO=fracSISA$.Suy ra $R=SI=fracSN.SASO$ $=fracSA^22SO=frac3asqrt68$.Mà $AO=frac23fracasqrt32=fracasqrt33$, $SO=sqrtSA^2-AO^2=frac2asqrt63$.Nên $R=SI=frac3asqrt68$.

Xem thêm: Top 3 Từ Điển Anh Việt Anh Tra Từ, Từ Điển Anh Việt Anh Tra Từ

Ví dụ 4: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $2a$.

*

Gọi $O$ là tâm đáy thì $SO$ là trục của hình vuông $ABCD$. Gọi $N$ là trung điểm của $SD$, trong $mp(SDO)$ kẻ trung trực của đoạn $SD$ cắt $SO$ tại $I$ thì $IS = IA = IB = IC = ID$ nên $I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Bán kính mặt cầu là $R=SI$.Ta có: $Delta SNI ∼ Delta SOD$ $ Rightarrow fracSNSO = fracSISD$ $ Rightarrow R = SI = fracSD.SNSO = fracSD^22SO.$Mà $SO^2 = SD^2 – OD^2$ $ = 4a^2 – fraca^22 = frac7a^22$ $ Rightarrow SO = fracasqrt 7 sqrt 2 .$Vậy $R = fracSD^22SO = frac2asqrt 14 7.$Dạng 3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.Phương pháp: Cho hình chóp $S.A_1A_2…A_n$ có cạnh bên $SAot left( A_1A_2…A_n ight)$ và đáy $A_1A_2…A_n$ nội tiếp được trong đường tròn tâm $O$. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.A_1A_2…A_n$ được xác định như sau:+ Từ tâm $O$ ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mpleft( A_1A_2…A_n ight)$ tại $O$.+ Trong $mpleft( d,SA_1 ight)$, ta dựng đường trung trực $Delta $ của cạnh $SA$, cắt $SA_1$ tại $N$, cắt $d$ tại $I$.+ Khi đó: $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính $R=IA_1=IA_2=…=IA_n=IS$.+ Tìm bán kính: Ta có: $MIOA_1$ là hình chữ nhật, xét $Delta MA_1I$ vuông tại $M$ có: $R = A_1I = sqrt MI^2 + MA_1^2 $ $ = sqrt A_1O^2 + left( fracSA_12 ight)^2 .$

*

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, biết $AB=6a$, $AC=8a$, $SA=10a$. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

*

Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$. Suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ vuông tại $A$.Dựng trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; trong mặt phẳng $left( SA,d ight)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ tại $I$.Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IA=IB=IC=IS$.Ta có tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật.Xét tam giác $NAI$ vuông tại $N$ có: $R = IA = sqrt NI^2 + NA^2 $ $ = sqrt AO^2 + left( fracSA2 ight)^2 $ $ = sqrt left( fracBC2 ight)^2 + left( fracSA2 ight)^2 $ $ = sqrt fracAB^2 + AC^24 + left( fracSA2 ight)^2 $ $ = 5asqrt 2 .$

Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, $SA=2a$. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

*

Gọi $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$.Dựng trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; trong mặt phẳng $left( SA,d ight)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ tại $I$.Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IA=IB=IC=IS$.Ta có tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật.Xét tam giác $NAI$ vuông tại $N$ có: $R = IA = sqrt NI^2 + NA^2 $ $ = sqrt AO^2 + left( fracSA2 ight)^2 $ $ = sqrt left( frac23 cdot fracasqrt 3 2 ight)^2 + left( frac2a2 ight)^2 $ $ = frac2asqrt 3 3.$

Ví dụ 7: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác cân tại $A$ và $AB=a$, $widehatBAC=120^o $, $SA=2a$. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

*

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.Dựng trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; trong mặt phẳng $left( SA,d ight)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ tại $I$.Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IA=IB=IC=IS$.Mặt khác, ta có: $S_ABC = frac12AB.AC.sin A$ $ = fraca^2sqrt 3 4$ và $BC = sqrt AB^2 + AC^2 – 2AB.AC.cos mA $ $ = asqrt 3 .$$OA$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $OA = fracAB.BC.CA4S_ABC = a.$Tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật nên $NI=OA=a$.Xét tam giác $NAI$ vuông tại $N$ có: $R = IA = sqrt NI^2 + NA^2 $ $ = sqrt AO^2 + left( fracSA2 ight)^2 $ $ = sqrt a^2 + a^2 = asqrt 2 .$

Dạng 4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy.Đối với dạng toán này thì mặt bên vuông góc thường là tam giác vuông, tam giác cân hoặc tam giác đều.Phương pháp:+ Xác định trục $d$ của đường tròn đáy.+ Xác định trục $Delta $ của đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy.+ Giao điểm $I$ của $d$ và $Delta $ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

*

Xét hình chóp $S.A_1A_2cdots A_n$ có mặt bên vuông góc với mặt đáy, không mất tính quát ta giả sử mặt bên $left( SA_1A_2 ight)$ vuông góc với mặt đáy và $Delta SA_1A_2$ là tam giác vuông hoặc tam giác cân hoặc tam giác đều.Gọi $O_1$ và $O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác $A_1A_2cdots A_n$ và tam giác $SA_1A_2$.Dựng $d$ và $Delta $ lần lượt là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác $A_1A_2cdots A_n$ và tam giác $SA_1A_2$.Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $Delta $ thì $I$ cách đều các đỉnh $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ và $S$ nên $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.A_1A_2cdots A_n$.Ta có tứ giác $O_2IO_1H$ là hình chữ nhật; $SI=R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp $S.A_1A_2cdots A_n$; $SO_2=R_b$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $SA_1A_2$; $A_1O_1=R_đ$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác $A_1A_2cdots A_n$.Tam giác $SO_2I$ vuông tại $O_2$ nên: $SI = sqrt SO_2^2 + O_2I^2 $ $ = sqrt SO_2^2 + O_1H^2 .$Tam giác $A_1O_1H$ vuông tại $H$ nên: $O_1H^2 = O_1A_1^2 – A_1H^2.$Do đó: $SI = sqrt SO_2^2 + O_1A_1^2 – A_1H^2 .$Mặt khác, nếu tam giác $SA_1A_2$ vuông tại $S$ thì $O_2equiv H$ và trùng với trung điểm $A_1A_2$ hoặc $SA_1A_2$ là tam giác cân tại $S$ hoặc đều thì ta cũng có $H$ trùng với trung điểm $A_1A_2$ nên $A_1H=fracA_1A_22$.Suy ra $SI = sqrt SO_2^2 + O_1A_1^2 – left( fracA_1A_22 ight)^2 .$Hay $R = sqrt R_b^2 + R_đ^2 – fracpartial ^24 $, với $partial $ là độ dài cạnh cạnh chung của mặt bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Mặt bên $left( SAB ight)ot left( ABC ight)$ và $Delta SAB$ đều cạnh bằng $1$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

*

Gọi $H$, $M$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$.Ta có $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$ (do $MA=MB=MC$).Dựng $d$ là trục đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$ ($d$ qua $M$ và song song $SH$).Gọi $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Delta SAB$ và $Delta $ là trục đường tròn ngoại tiếp $Delta SAB$, $Delta $ cắt $d$ tại $I$. Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.Suy ra bán kính $R=SI$. Xét $Delta SGI$, suy ra $SI=sqrtGI^2+SG^2$.Mà $SG=frac1sqrt3$; $GI=HM=frac12AC=frac12$.Nên $R=SI=sqrtfrac13+frac14=fracsqrt216$.

Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $1$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

*

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ thì $SMot AB$ (vì tam giác $SAB$ đều). Mặt khác do $left( SAB ight)ot (ABC)$ nên $SMot (ABC)$.Tương tự: $CMot (SAB)$.Gọi $G$ và $K$ lần lượt là tâm của các tam giác $ABC$ và $SAB$.Trong mặt phẳng $(SMC)$, kẻ đường thẳng $Gx ext//SM$ và kẻ đường thẳng $Kyot SM$.Gọi $O=Gxcap Ky$, thì ta có: $left{ eginarraylOG ot (SAB)\OK ot (ABC)endarray ight.$Suy ra $OG,OK$ lần lượt là trục của tam giác $ABC$ và $SAB$.Do đó ta có: $OA=OB=OC=OD=OS$ hay $O$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.Tứ giác $OKMN$ là hình chữ nhật có $MK=MG=fracsqrt36$ nên $OKMN$ là hình vuông.Do đó $OK=fracsqrt36$.Mặt khác $SK=fracsqrt33$. Xét tam giác $SKO$ vuông tại $K$ có $OS = sqrt OK^2 + SK^2 $ $ = sqrt frac336 + frac39 = fracsqrt 15 6.$Suy ra bán kính mặt cầu cần tìm là $R=OS=fracsqrt156$. Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:$V = frac43pi R^3$ $ = frac43pi .left( fracsqrt 15 6 ight)^3$ $ = frac5sqrt 15 pi 54.$